lunes, 9 de marzo de 2015

SUMA I DIFERÈNCIA

 En una taula 4x2, hi ha dos nombres escrits a la primera fila. Els nombres de la fila següent es calculen fent la suma i la diferència dels nombres que hi ha en la fila anterior (vegeu l'exemple del dibuix). Si en una taula de 7x2 emplenada de la mateixa manera, els nombres de la darrera fila són 96 i 64, què val la suma dels nombres de la primera fila?
 
 
 Per resoldre el problema, utilitzarem l'àlgebra. Posarem que els nombres de la primera fila són x i y, i anirem completant cada fila amb el polinomi corresponent. Quedarà així:
 
 
Seguidament,  a partir de l'última fila trobarem els valors x i y.
 
Finalment, fem el que ens demana l'enunciat: sumem aquests valors.
 
x+y
12+8=20
 
SOLUCIÓ: La suma donarà 20.

 

domingo, 8 de marzo de 2015

Problema dels quatre pops

Sota el mandat del rei de les aigües submarines hi ha pops de 6, 7, i 8 potes. Els de 7 potes sempre menteixen, però els de 6 i els de 8 potes sempre diuen la veritat. Un dia es van reunir quatre pops.

  • El primer va dir: “Entre tots tenim 28 potes”.
  • El segon va dir: “Entre tots tenim 27 potes”. 
  • El tercer va dir: “Entre tots tenim 26 potes”. 
  • El quart va dir: “Entre tots tenim 25 potes”. 

Quin d’ells diu la veritat?

Després de pensar durant una estona, hem descobert que aquest problema és molt més fàcil del que sembla. Simplement s'ha de mirar des d'un punt de vista lògic. Aviam si el podeu resoldre sense mirar la solució que teniu a sota.


Resposta:

Si són 4 pops i cada un diu coses diferents, això vol dir que només un dirà la veritat.
Per tant, 3 dels pops menteixen, vol dir que tenen 7 potes. 
El que queda (el que diu la veritat) tindrà 6 o 8 potes.

-Opció 1: si té 6 potes
                 7 · 3 = 21 potes+ 6= 27 potes
-Opció 2: si té 8 potes
                 7 · 3 = 21 potes + 8= 29 potes

Conclusió:
L'opció 1 és la correcta ja que cap pop diu que tinguin 29 potes entre els 4.

sábado, 7 de marzo de 2015




Fa uns dies, a classe, vam treballar diferents mètodes de demostració.
Dels treballats, ens centrarem en el mètode de reducció a l'absurd.
I us preguntareu, en què consisteix? Doncs ara us ho expliquem.

Si volem demostrar que A és B, aleshores suposem certa la premisa A , però falsa la conclusió B, llavors arribem a una contradicció.
Per provar que una propietat és verdadera es comença suposant que es falsa i s'arriba a una conclusió.

EXEMPLE
Demostració que l'arrel de 2 és irracional

Volem demostrar que l'arrel de 2 no es pot expressar en forma de fracció, per tant, és irracional.
Com que utilitzem el mètode de reducció a l'absurd, començarem suposant que l'arrel de 2  que es pot escriure en forma de fracció.



El lingot d'or

L’altre dia vam estar fent problemes i el del lingot d’or ens va agradar així que os el em volgut presentar. Proveu haver si teniu sort i trobeu la solució llegint l’anunciat, sense llegir la solució.

El lingot d’or: Un peregrí camina per la Ruta de Santiago sense més pertinences que un lingot d’or. Un bon dia arriba a un hostal buscant allotjament amb la intenció de descansar durant una setmana. El caminant li diu a l’hostalera que, no té diners per pagar, li proposa donar-li la setena part del seu lingot al acabar cada dia. D’aquesta manera, cada dia haurà pagat el temps que porti allotjat a l’hostal i, al final dels set dies, l’hostalera tindrà el lingot sencer. L’hostalera accepta el tracte i, al acabar el primer dia, el peregrí serra la part corresponent (1/7) del lingot. Però, l’hostalera observa que es desprèn molt polvet d’or que es malgastava al serrar el lingot i que es malgastaria molt or si cada dia serrés el tros corresponent. Durant varies hores, l’hostalera pensa com fer per no malgastar tant or, i al final compren que amb un sol tall més al lingot, el peregrí ja podrà pagar-li cada dia de la forma acordada. Com es possible això? Com hauria de serrar el lingot al acabar el segon dia?

Per si no ho heu entès; ens demana la forma amb la que fent un sol tall més al lingot, el caminant pugui donar-li el tros/sos de lingot corresponent als dies que porta hostejat. És a dir:el primer dia 1/7; el segon dia 2/7; el tercer dia 3/7 i així fins arribar al setè dia on l’hostalera ja tindrà tot el lingot (7/7). Ja sabeu com fer-ho?

La solució és la següent:

Tenim dos trossos:
                           


                          1/7                                             6/7

Amb un sol tall al tros més gran (6/7) podem obtenir dos trossos; un de 2/7i l’altre de 4/7.






Fet el tall tenim aquests tres trossos:

Ara ja podrem pagar a l’hostalera com li havíem dit, i només fent dos talls!
Així és com li pagaríem:
El primer dia li donaríem el 1/7.
El segon dia li donaríem el 2/7.
El tercer dia, e l1/7 i el 2/7.
El quart dia,el 4/7.
El cinquè dia, el 4/7 i el 1/7.
El sisè dia, el 4/7 i el 2/7.

I finalment, l’últim dia, el setè, li donaríem tots els trossos de lingot (el 1/7, el 2/7 i el 4/7).

domingo, 1 de marzo de 2015

Bales de canó

En l'època en què els canons llançaven bales, aquestes eren emmagatzemades en parcs d'artilleria en forma de piràmides de base quadrada, cada costat del quadrat de la base comptava amb 15 bales. Quin era el nombre de bales per piràmide?











Donat que ens demanen el nombre de bales total que tindria una piràmide la base de qual tindria un costat de 15 bales (n), per resoldre aquest problema hem utilitzat el mètode COMENÇAR RESOLENT UN PROBLEMA SIMILAR MÉS SIMPLE.
Per exemple, agafem el cas d'una piràmide de 2 bales de costat de base. la base seran 4 bales, i li sumarem 1 bala superior, per tant, si suposem n=2 en aquest cas, el nombre total de bales seria de 5 bales.

Per a una piràmide de 3 bales de costat de base, la solució seria 14 bales, perquè fem 3 x 3 bales en la base que dóna 9 bales i li sumem el resultat anterior. Per tant, si suposem n= 3 , en aquest cas, el nombre total de bales seria de 14 bales.

Si suposem n= 4 . En aquest cas, el nombre total  de bates seria de 30 bales.

Si suposem n= 5. En aquest cas, el nombre total de bales seria de 55 bales.

Fins arribar al cas n= 15 que dóna 1240, perquè hem anat sumant tots els termes anteriors a 15.
Així doncs, podem deduir la següent expressió general:










Resposta:
Mitjançant la fórmula anterior, arribem a la conclusió que, en una piràmide de 15 bales de costat a la seva base, hi ha un total de 1240 bales.

L' aranya i la mosca

Hola molt bon dia a tothom!
En aquesta nova entrada del blog, us presentarem un problema de matemàtiques que hem hagut de fer per la classe de M.O. Ampliació de matemàtiques. És aquest: 

 
 
Què? Difícil? Des del nostre punt de vista, és un problema molt interessant i que us animem a provar de solucionar-lo!
 
Si ja ho heu intentat, aquí us deixem la solució del problema!
 
Per resordre'l, hem d'estudiar els diferents casos posibles que podrà fer l'aranya per arribar a la mosca. Per això, hem de buscar els diferents desenvolupaments plans d'un ortoedre.
 Aquí us deixem un link que us conduirà a un GeoGebra i on podreu provar els diferents casos!
 
Cas 1
Aquest és el cas que tothom donaria per fet que és el més curt, però ja veurem com no és així!
 



 
 
Com és una recta, calculem la distància. El costat del rectangle fa 30m, i com que la mosca està a un metre del terra i la mosca a 11m per sobre el terra, podem deduir que la distancia que recorrerà serà la següent:
30+11+1= 42m
 
Cas 2
 




Per calcular aquest recorregut, hem d'aplicar el teorema de pitàgoras (h^2=c1^2+c2^2). Tenim que el catet 1 és 37m i el catet 2 és 17, per tant si apliquem pitàgoras ens dona que la hipotenusa ( que és el recorregut), fa 40,72 m. Aquest cas, per estrany que sembli, és més curt que l'altre. Però encara ens falta un cas per saber la solució!
(El desenvolupament tres no el fem ja que és igual que el cas 2)
 
Cas 3
Serà aquest cas la solució?
 
 
 
 
 

Per resoldre aquest, hem de tornar a aplicar pitàgoras. Aquí el catet 1 fa 32m i el catet dos, 24. Per tant la hipotenusa (recorregut) farà 40m.
 
 
CONCLUSIÓ
 
Per estrany que sembli, el cas 3 és el camí més curt, ja que 40<40,72<42.
 

Problema de les bales de canó

En l'època en què els canons llançaven bales, aquestes eren emmagatzemades en parcs d'artilleria en forma de piràmides de base quadrada, cada costat del quadrat de la base comptava amb 15 bales. Quin era el nombre de bales per piràmide?








Per resoldre aquest problema, hem utilitzat el mètode: COMENÇAR RESOLENT UN PROBLEMA SIMILAR MÉS SIMPLE

Per exemple, agafem el cas d'una piràmide de 2 bales de costat de base. La base seran 4 bales, i li sumarem 1 bala superior. Per tant, n=2 és 5 bales en total.

Una piràmide de 3 bales de costat de base la solució seia 14, perquè fem 3·3=9 i li sumem el resultat anterior.

En el cas de n=15 dóna 1240, perquè hem anat sumant tots els termes anteriors a 15 i els hem anat sumant.