SUMA I DIFERÈNCIA

 En una taula 4x2, hi ha dos nombres escrits a la primera fila. Els nombres de la fila següent es calculen fent la suma i la diferència dels nombres que hi ha en la fila anterior (vegeu l'exemple del dibuix). Si en una taula de 7x2 emplenada de la mateixa manera, els nombres de la darrera fila són 96 i 64, què val la suma dels nombres de la primera fila?

 

 

 Per resoldre el problema, utilitzarem l'àlgebra. Posarem que els nombres de la primera fila són x i y, i anirem completant cada fila amb el polinomi corresponent. Quedarà així:

 

 

Seguidament,  a partir de l'última fila trobarem els valors x i y.

 

Finalment, fem el que ens demana l'enunciat: sumem aquests valors.

 

x+y

12+8=20

 

SOLUCIÓ: La suma donarà 20.



 

Problema dels quatre pops

Sota el mandat del rei de les aigües submarines hi ha pops de 6, 7, i 8 potes. Els de 7 potes sempre menteixen, però els de 6 i els de 8 potes sempre diuen la veritat. Un dia es van reunir quatre pops.

• El primer va dir: “Entre tots tenim 28 potes”.
• El segon va dir: “Entre tots tenim 27 potes”. 
• El tercer va dir: “Entre tots tenim 26 potes”. 
• El quart va dir: “Entre tots tenim 25 potes”. 

Quin d’ells diu la veritat?

Després de pensar durant una estona, hem descobert que aquest problema és molt més fàcil del que sembla. Simplement s'ha de mirar des d'un punt de vista lògic. Aviam si el podeu resoldre sense mirar la solució que teniu a sota.


Resposta:

Si són 4 pops i cada un diu coses diferents, això vol dir que només un dirà la veritat.
Per tant, 3 dels pops menteixen, vol dir que tenen 7 potes. 
El que queda (el que diu la veritat) tindrà 6 o 8 potes.

-Opció 1: si té 6 potes

                 7 · 3 = 21 potes+ 6= 27 potes

-Opció 2: si té 8 potes

                 7 · 3 = 21 potes + 8= 29 potes

Conclusió:

L'opció 1 és la correcta ja que cap pop diu que tinguin 29 potes entre els 4.

Fa uns dies, a classe, vam treballar diferents mètodes de demostració.

Dels treballats, ens centrarem en el mètode de reducció a l'absurd.

I us preguntareu, en què consisteix? Doncs ara us ho expliquem.

Si volem demostrar que A és B, aleshores suposem certa la premisa A , però falsa la conclusió B, llavors arribem a una contradicció.

Per provar que una propietat és verdadera es comença suposant que es falsa i s'arriba a una conclusió.

EXEMPLE

Demostració que l'arrel de 2 és irracional

Volem demostrar que l'arrel de 2 no es pot expressar en forma de fracció, per tant, és irracional.

Com que utilitzem el mètode de reducció a l'absurd, començarem suposant que l'arrel de 2 SÍ que es pot escriure en forma de fracció.

El lingot d'or

L’altre dia vam estar fent problemes i el del lingot d’or ens va agradar així que os el em volgut presentar. Proveu haver si teniu sort i trobeu la solució llegint l’anunciat, sense llegir la solució.

El lingot d’or: Un peregrí camina per la Ruta de Santiago sense més pertinences que un lingot d’or. Un bon dia arriba a un hostal buscant allotjament amb la intenció de descansar durant una setmana. El caminant li diu a l’hostalera que, no té diners per pagar, li proposa donar-li la setena part del seu lingot al acabar cada dia. D’aquesta manera, cada dia haurà pagat el temps que porti allotjat a l’hostal i, al final dels set dies, l’hostalera tindrà el lingot sencer. L’hostalera accepta el tracte i, al acabar el primer dia, el peregrí serra la part corresponent (1/7) del lingot. Però, l’hostalera observa que es desprèn molt polvet d’or que es malgastava al serrar el lingot i que es malgastaria molt or si cada dia serrés el tros corresponent. Durant varies hores, l’hostalera pensa com fer per no malgastar tant or, i al final compren que amb un sol tall més al lingot, el peregrí ja podrà pagar-li cada dia de la forma acordada. Com es possible això? Com hauria de serrar el lingot al acabar el segon dia?

Per si no ho heu entès; ens demana la forma amb la que fent un sol tall més al lingot, el caminant pugui donar-li el tros/sos de lingot corresponent als dies que porta hostejat. És a dir:el primer dia 1/7; el segon dia 2/7; el tercer dia 3/7 i així fins arribar al setè dia on l’hostalera ja tindrà tot el lingot (7/7). Ja sabeu com fer-ho?

La solució és la següent:

Tenim dos trossos:

                           

                          1/7                                             6/7

Amb un sol tall al tros més gran (6/7) podem obtenir dos trossos; un de 2/7i l’altre de 4/7.

Fet el tall tenim aquests tres trossos:

                    

Ara ja podrem pagar a l’hostalera com li havíem dit, i només fent dos talls!

Així és com li pagaríem:

El primer dia li donaríem el 1/7.

El segon dia li donaríem el 2/7.

El tercer dia, e l1/7 i el 2/7.

El quart dia,el 4/7.

El cinquè dia, el 4/7 i el 1/7.

El sisè dia, el 4/7 i el 2/7.

I finalment, l’últim dia, el setè, li donaríem tots els trossos de lingot (el 1/7, el 2/7 i el 4/7).

Bales de canó

En l'època en què els canons llançaven bales, aquestes eren emmagatzemades en parcs d'artilleria en forma de piràmides de base quadrada, cada costat del quadrat de la base comptava amb 15 bales. Quin era el nombre de bales per piràmide?

Donat que ens demanen el nombre de bales total que tindria una piràmide la base de qual tindria un costat de 15 bales (n), per resoldre aquest problema hem utilitzat el mètode COMENÇAR RESOLENT UN PROBLEMA SIMILAR MÉS SIMPLE.
Per exemple, agafem el cas d'una piràmide de 2 bales de costat de base. la base seran 4 bales, i li sumarem 1 bala superior, per tant, si suposem n=2 en aquest cas, el nombre total de bales seria de 5 bales.

Per a una piràmide de 3 bales de costat de base, la solució seria 14 bales, perquè fem 3 x 3 bales en la base que dóna 9 bales i li sumem el resultat anterior. Per tant, si suposem n= 3 , en aquest cas, el nombre total de bales seria de 14 bales.

Si suposem n= 4 . En aquest cas, el nombre total  de bates seria de 30 bales.

Si suposem n= 5. En aquest cas, el nombre total de bales seria de 55 bales.

Fins arribar al cas n= 15 que dóna 1240, perquè hem anat sumant tots els termes anteriors a 15.
Així doncs, podem deduir la següent expressió general:

Resposta:
Mitjançant la fórmula anterior, arribem a la conclusió que, en una piràmide de 15 bales de costat a la seva base, hi ha un total de 1240 bales.

L' aranya i la mosca

Hola molt bon dia a tothom!
En aquesta nova entrada del blog, us presentarem un problema de matemàtiques que hem hagut de fer per la classe de M.O. Ampliació de matemàtiques. És aquest: 

 

 

Què? Difícil? Des del nostre punt de vista, és un problema molt interessant i que us animem a provar de solucionar-lo!

 

Si ja ho heu intentat, aquí us deixem la solució del problema!

 

Per resordre'l, hem d'estudiar els diferents casos posibles que podrà fer l'aranya per arribar a la mosca. Per això, hem de buscar els diferents desenvolupaments plans d'un ortoedre.

 Aquí us deixem un link que us conduirà a un GeoGebra i on podreu provar els diferents casos!

http://share.scn.by/h/54eee292e4b0300383c3c24f

 

Cas 1

Aquest és el cas que tothom donaria per fet que és el més curt, però ja veurem com no és així!

 

 

 

Com és una recta, calculem la distància. El costat del rectangle fa 30m, i com que la mosca està a un metre del terra i la mosca a 11m per sobre el terra, podem deduir que la distancia que recorrerà serà la següent:

30+11+1= 42m

 

Cas 2

 

Per calcular aquest recorregut, hem d'aplicar el teorema de pitàgoras (h^2=c1^2+c2^2). Tenim que el catet 1 és 37m i el catet 2 és 17, per tant si apliquem pitàgoras ens dona que la hipotenusa ( que és el recorregut), fa 40,72 m. Aquest cas, per estrany que sembli, és més curt que l'altre. Però encara ens falta un cas per saber la solució!

(El desenvolupament tres no el fem ja que és igual que el cas 2)

 

Cas 3

Serà aquest cas la solució?

 

 

 

 

 



Per resoldre aquest, hem de tornar a aplicar pitàgoras. Aquí el catet 1 fa 32m i el catet dos, 24. Per tant la hipotenusa (recorregut) farà 40m.

 

 

CONCLUSIÓ

 

Per estrany que sembli, el cas 3 és el camí més curt, ja que 40<40,72<42.

 

Problema de les bales de canó

En l'època en què els canons llançaven bales, aquestes eren emmagatzemades en parcs d'artilleria en forma de piràmides de base quadrada, cada costat del quadrat de la base comptava amb 15 bales. Quin era el nombre de bales per piràmide?

Per resoldre aquest problema, hem utilitzat el mètode: COMENÇAR RESOLENT UN PROBLEMA SIMILAR MÉS SIMPLE

Per exemple, agafem el cas d'una piràmide de 2 bales de costat de base. La base seran 4 bales, i li sumarem 1 bala superior. Per tant, n=2 és 5 bales en total.

Una piràmide de 3 bales de costat de base la solució seia 14, perquè fem 3·3=9 i li sumem el resultat anterior.

En el cas de n=15 dóna 1240, perquè hem anat sumant tots els termes anteriors a 15 i els hem anat sumant.

PROBLEMA: LA CABRA

Hola de nou a tots! 

Avui us venim a plantejar un nou problema, el qual hem solucionat a classe. Pot semblar fàcil, però quan es planteja es torna més complicat. És per això que just a sota de l'enunciat teniu un enllaç Geogebra, que us serà de gran ajut per plantejar i solucionar el problema. Us hi atreviu?

20. La cabra: Una cabra està lligada mitjançant una corda de 9 metres en el vèrtex d'una tàpia de 6x4 metres. Quina superfície màxima pot pasturar? 

Si no ho heu aconseguit, tranquils... Com altres cops, aquí us deixem una imatge amb el plantejament, el desenvolupament i la solució. 

Esprem que us hagi agradat i que us hagueu divertit amb aquest problema!

Ignacio Llansó i Pol Jorquera

ESTUDI DE CASOS

Monty Hall
Fent el treball de resolució de problemes a la classe d'optativa de matemàtiques, ens han plantejat el problema següent:

Aleshores, per trobar la solució hem realitzat aquesta taula:

Un cop feta i estudiada la taula, observem que:

• En el cas 1 hem escollit la porta correcta, i si canviem de porta, FALLEM.
• En canvi, en el cas 2 hem escollit la porta equivocada, per tant, si canviem de porta GUANYEM.
• Finalment, en el cas 3 passa gairebé el mateix que en el cas 2. Si canviem de porta, GUANYEM.

CONCLUSIONS

Si canviem de porta, tenim 2/3 possibilitats d'encertar, en canvi, si no canviem, només tenim 1/3 possibilitats.

Amb tot això, deduïm que si canviem de porta un cop feta la nostra elecció, sempre tindrem més possibilitats de guanyar que no pas si no la canviem, així que... millor canviem de porta!

Vinyet Sorribas i Laura Oliu

Enhorabona!

El passat divendres vam tenir un control escrit sobre el raonament inductiu i les tècniques de demostracions que haviem estudiat a classe.

Els resultats han sigut tot un èxit i tal i com us he dit aquest matí haig de felicitar-vos per l'esforç i sobretot per l'entusiasme que poseu a les classes. Enhorabona nois i noies!

A continuació poso alguns exercicis escanejats dels vostres controls. A veure si reconeixeu de qui és la lletra!

Documental: L'últim Teorema de Fermat

Vam veure a classe aquest magnífic documental produït per la BBC de Londres en la sèrie Horizont, en la que detalla com Andrew Wiles aconsegueix, després de molt de temps, i gràcies al treball de molt altres matemàtics, demostrar l'últim Teorema de Fermat.

Que el disfruteu!


El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

EXERCICIS RELACIONATS 5 I 6

Em estat fent exercicis pero aquests han sigut una cosa nova, estan relacionats, ja que em pogut fer el segon gracies al primer.



En el primer ens demanavem que demostresim que o be "a" o be "3a-1" és parell per a qualsevol nombre enter "a".

Si posaven que "a" és perell ja seria correcte així que ho hem probat per "a" senar.

3·(2a+1)–1 = 6a+3–1 = 6a+2 = 2·(3a+1)

Qualsevol nombre senar multiplicat per 3 dona senar, i un nombre senar meny 1 és parell.



En el segon ens han demanat que demostresim que si "n" és multiple de 3 aleshores n²-n es multiple de 6, utilitzan el resultat de l'activitat anterior.

n = 3·a

(a·3)²-a·3 = a²·9-a·3 = 3a·(3a-1) = 3·(2b)·(3b-1) = 6b·(3c-1) = 6d

En el pas en negreta soposem que o be "a" o be "3a-1" és parell i l'altre senar, així que substituim en er un nombre parell (2b) i l'altre per u nombre senar (3b-1).

EL MÈTODE DIRECTE

Molt bon dia a tothom! Avui, en aquesta nova entrada del blog, us parlarem sobre un mètode de demostració: el mètode directe.

I us estareu preguntant què és, no? Doncs comencem per aquí!

El mètode directe és un una manera de resoldre un enunciat, d'on es parteix de les premises per a arribar a la conclusió.

A aleshores B ( A és la premisa i B la conclusió)

Abans de començar amb els exemples, creiem convenient explicar-vos aunes definicions matemàtiques:

       1-x és un parell si el podem expressar com a x=2a (on a és enter)
       2- x és un senar si el podem expressar com a x=2a+1 ( on a és enter)

Ara si doncs, aquí podeu veure alguns exemples:

Ex 1: Si tenim dos nombres parells aleshores la seva suma és parell=si x i y són parells, x+y és parell

x parell:x=2a on a pertany als enters

y parell: y=2b on b pertany als enters

Aleshores, ara que ja tenim les premises, operem:

x+y=2a+2b= 2(a+b)= 2c on c=a+b

Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c. (2c)
                           

Ex 2: La suma de dos nombres senars és parell= si x i y són senars, x+y és parell

Si x és senar: x=2a+1 on a pertany als enters

Si y és senar: y= 2b+1 on b pertany als enters

Aleshores, ara que ja tenim les premises, podem procedir:

x+y= 2a+1+2b+1= 2a+2b+2= 2(a+b+1) = 2c on c=a+b+1

Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c (2c)
                                                     

Què ho trobeu difícil? No pot ser! Aquests són els més fàcils! I ara, pels més atrevits i atrevides, us deixem un enunciat a veure si sou capaços de resordre'l pel mètode directe. Endevant matemàtics!

Exercici: Si n és senar aleshores n^3-n és múltiple de 4 

Endevant nois, a veure si sou capaços!


Max Cunill i Franc Ricart

DEMOSTRACIÓ MATEMÀTICA

Bon dia a tots! Avui us venim a orientar una mica sobre els mètodes de demostració, ja que els nostres companys han aprofundit molt. Aquesta entrada és una "presentació" pels temes que vindran.

En matemàtiques, una demostració matemàtica o prova és un argument deductiu per a una afirmació matemàtica . En l'argumentació es poden utilitzar altres afirmacions prèviament establertes, com ara teoremes . En principi, una demostració es pot rastrejar fins afirmacions generalment acceptades, conegudes com axiomes .

Això si, no es pot utilitzar el mot comprovació com a sinònim de demostració ja que comprovar es afirmar que és cert per a “x” número, es a dir, solament 1. En canvi demostrar es afirmar-ho per a tots els números.

Aquí us deixem una frase extreta del documental “L’últim teorema de Fermat”, on es veu clarament  que comprovació no es demostració.

 “Pots comprovar aquesta conjectura per a 1000 nombres i et quedaran infinits, pots comprovar-ho per un milió més i et quedaran infinits per comprovar. 

Encara que en general no hi ha un procediment únic de demostració de tesi, si hi ha diferents tipus de demostracions que són utilitzats comunament en matemàtiques :

- La primera de totes és la demostració per contraposició ( formalitzat i utilitzat en els sil·logismes* per Aristòtil ).

- Una altra és la demostració per reducció a l'absurd ( formalitzat i utilitzat per Aristòtil ) i , com a cas particular, descens infinit.

- Un altre cas és la inducció matemàtica.

- I per últim, trobem la inducció forta.

 *Un sil·logisme és un mètode lògic creat per Aristòtil, a través del qual s'obté una conclusió.

Aquestes, són maneres de resoldre conjectures o problemes, els quals aquí us deixem uns exemples:

El conegut Teorema de Fermat, el també famós Teorema de Pitàgores i fins i tot problemes com “Demostrar que si 3n+2 es senar, llavors  n es senar”

Si no us sonen aquests noms, no us preocupeu, que els nostres companys tenen entrades explicant cada demostració més a fons.

Esperem que us haguem pogut començar a endinsar dins d'aquest món i que us hagi agradat!

Ignacio Llansó i Pol Jorquera

REDUCCIÓ A L'ABSURD

REDUCCIÓ A L’ABSURD

Sabríeu resoldre per aquest mètode els enunciats següents?

1. Demostra que si m² és parell, aleshores m també és parell.

2. Siguin dos nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos nombres són senars.

3. Si p, q i r són tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte:

(p-q) · (q-r) · (r-p)  és parell.

Si voleu comprovar els vostres resultats o bé aprendre com es fa, aquí teniu els passos a seguir i les solucions!

1. Demostra que si m² és parell, aleshores m també és parell.

m² = parell ; m = parell

a) Suposem que la conclusió és falsa: que m és senar (m = 2a+1)

b) Ho apliquem a l’enunciat:

m² = (2a+1)²

m² = 4a² +4a+1

m² = 2· (2a² +2a) +1

m²  és parell                              ( CONTRADICCIÓ )

2· (2a² +2a) +1 és senar

 2. Siguin dos nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos nombres són senars.

 Comencem suposant que els producte és senar però que els dos nombres són parells o un és parell.

Dos parells:

2a · 2b = 4ab = 2(2ab) = parell (CONTRADICCIÓ)

Un parell:

2a · (2b+1) = 4ab+2a = 2a (2b+1) =parell (CONTRADICCIÓ)

3. Si p, q i r són tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte: (p-q) (p-r) (r-p) és parell.

Comencem suposant que p, q i r són enters i que tenim el producte (p-q) (p-r) (r-p) i això acaba donant senar.

En concret (p-q) és senar, per tant un ha de ser parell i l'altre senar.

Tenim dos casos:

- p parell i q senar: p parell = (r-p) senar = r senar       (CONTRADICCIÓ)

                               q senar =  (q-r) senar = r parell 

- p senar i q parell: p senar = (r-p) senar = r parell      (CONTRADICCIÓ)

                               q parell = (q-r) senar = r senar 

Esperem que apreneu i que si els heu fet vostres sols us hagin donat bé! Segueix-nos!

Mercè Maria 

Gina Gassol

Mètode d'inducció

Últimament, a la matèria optativa hem estat treballant el mètode d'inducció.

La inducció és un mètode de demostració matemàtica que es basa en:

Suposar certa una expressió i comprovar-la per casos particulars (n=1, n=2, etc.). Un cop fet això, la demostrem per a "n+1". D'aquesta manera demostrarem que la expressió és certa per a tots els següents nombres a partir de "n". 

Exemple: 

Casos particulars: 

A partir d'aquí suposem certa l'expressió per a "n":

I la demostrem per a "n+1":

Conclusió: podem veure que la igualtat és compleix per a "n+1". Això vol dir, que hem demostrat la igualtat inicial el mètode d'inducció.

Problema: si voleu, a partir de la informació donada, podem intentar resoldre la següent expressió:

Resposta:

demostracions per mètode directe

Sabeu d'on ve l'equació de segon grau? I sabríeu demostrar que la mitja aritmètica de dos nombres(positius) sempre és més gran o igual que la seva mitja aritmètica?

A classe d'optativa, ho hem treballat i ara us ho demostrarem:

• Equació de segon grau:

 Primer de tot, les lletres a, b i c, són qualsevol nombre enter, mentre que la x és l'incògnita.
Al primer pas, multipliquem per 4ac a banda i banda. A continuació, passem el tercer terme, 4ac, restant a l'atra banda.
Tot seguit sumem b al quadrat a cada costat i al costat esquerre, ens queda un producte notable. Després l'operem, i per treure el quadrat fem l'arrel quadrada a la dretra. Finalment aïllem la x i ens queda l'equació final.

• La mitja aritmètica de dos nº positius és més gran o igual a la seva mitja geomètrica.

La mitja aritmètica és la tenim al costat esquerre de l'equació, i la

mitja geomètrica a la dreta.

El primer que fem és passar el dos multiplicant i elevar-ho tot al quadrat per eliminar l'arrel de la dreta. Després operem el producte notable de la dreta. Finalment ho passem tot a la dreta  i operem. Podem comprovar com la mitja aritmètica és més gran.

EL CAMÍ MÉS CURT

Hola a tothom! En aquesta entrada del blog us parlarem sobre l'exercici del camí més curt... I us estareu preguntant què és, no? Doncs és un exercici que consisteix en trobar el camí més curt que uneix els 3 costats d'un triangle (tornant al punt de partida). Us animem a tots vosaltres a provar-ho ( ja us advertin que no és tasca fàcil!)

Si ja ho heu intentat fer, aquí teniu la solució!

Solució: El camí més curt s'obté agafant com a vèrtexs l'alçada de cada costat  i després unint-los. Ens donarà un triangle que s'anomena 'triangle òrtic'.
Aquí podeu comprovar que el que us acabem de dir és veritat. El triangle en taronja (petit) és l'òrtic i el camí més curt que és pot fer, i l'altre el podeu anar movent i alhora mirant la variant 'k' (part inferior esquerra) i veureu com quan concideixi amb l'òrtic, serà el més petit! Us animem a comprovar-ho!

 

 

Però s'ha d'anar amb compte, ja que el procediment del triangle òrtic només és pot aplicar cuan és acutangle!

MAX CUNILL I FRANC RICART

SERIES

Quan estàvem fent el raonament inductiu vam fer varius exercicis. Un d’ells era completar series posant que n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 i n = 5.

Primerament vam fer la sèrie:

Sn = 1+3+5+ ... +(2n-1) = n²

Vam fer les premisses següents:

n = 1; S1 = 1 = 1	12 = 1
n = 2; S2 = 1 + 3 = 4	22 =  4
n = 3; S3 = 1 + 3 + 5 = 9	32 = 9
n = 4; S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16	42  = 16
n = 5; S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25	52 = 25

Estimats lectors ara os donem el rapte de que feu el mateix que vam fer nosaltres però amb la sèrie: 

EL RAONAMENT INDUCTIU

Sabeu què és el raonament inductiu? Jo diria que no... Nosaltres no ho sabíem fins que ho vam aprendre a classe de matèria optativa!
Una definició formal podria ser la següent:
El raonament inductiu es refereix al moviment del pensament que va dels fets particulars a una afirmació general.
Tot i que, jo amb aquestes paraules no sé si ho entendria massa bé... Dit d’una altra manera, el raonament inductiu és una forma de pensar en la qual es relacionen fets puntuals amb una solució general.
Abans de pensar en matemàtiques, un exemple molt senzill podria ser:

Premisa 1: El Joan toca una flama i es crema.
Premisa 2: El Manel toca una estufa i es crema.
Premisa 3: La Maria toca aigua bullint i es crema.
CONCLUSIÓ: Quan toques un objecte calent et cremes.



VOLEU VEURE TOT AIXÒ APLICAT A LES MATEMÀTIQUES?

Aquí alguns exemples senzills...

EXEMPLE 1: La suma de dos nombres parells és...PARELL

Casos: 2+4=6
12+8=20

Comprovació: 2x+2y = 2·(x+y)

EXEMPLE 2: Si n és un número natural qualsevol aleshores:
(2n-1)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de...3 I 5

Casos: n=6 → 11·13·15 = 2145 (3,5,143)
n=1 → 1·3·5 = 15 (3,5)

EXEMPLE 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n2-n és múltiple de...6

Casos: n=6 → 30 (2,3,5,6)
n=9 → 72 (2,3,6)
n=27 →702 (2,3,6)

Ara fes-ho tu mateix, tot el que acabes d'apendre posa-ho a la pràctica!
Una vegada fagis els casos més senzills buscan de més complicats!

Mercè i Gina.

SÈRIES DE NOMBRES

Fa poc, a la matèria optativa de matemàtiques vam aprendre a solucionar unes sèries ben peculiars. Tractaven de poder trobar la continuació i el que havíem de fer era ben senzill:

1. Primer de tot, calculem la diferència entre els dos primers nombres, seguidament, la tornem a calcular però aquest cop entre els segon i el tercer nombre i així successivament fins arribar al final de la sèrie. Posarem un exemple perquè s’entengui millor: si tenim la sèrie de 2-6-22-56-114, el que haurem de fer serà restar 6-2, i a continuació restarem 22-6, 56-22 i finalment 144-56. Si hem fet els càlculs bé, ens donarà una altre fila de nombres que és la següent: 4-16-34-58-88

2. El següent pas és tornar a fer exactament el mateix, però aquest cop, amb la nova sèrie de nombres. Això ho anirem fent fins que arribem a tenir una fila amb tots el nombres iguals. Si continuem amb la sèrie d’abans, hauríem d’arribar a tenir la següent fila: 6-6-6                                                                    

Però això no s’acaba aquí! Per poder trobar el nombre que segueix la sèrie, encara haurem de fer un altre pas.

3. El que hem de fer a continuació, consisteix en invertir el procés, és a dir, agafarem un dels nombres idèntics, el que es troba més a la dreta i el resultat el sumarem amb el nombre de la fila anterior que també es trobi més a la dreta. Repetirem aquest pas successivament fins que arribem a obtenir el nombre que continua la sèrie original.

A continuació us hem adjuntat un exemple amb una sèrie completa, perquè ho entengueu millor!

 Hem pensat que potser us agradaria fer-ne una vosaltres sols. La sèrie seria:

5-15-37-71-141

Us hi atreviu??

Vinyet Sorribas i Laura Oliu

TRIANGLES AUXILIARS

TRIANGLES AUXILIARS

 

En aquesta matèria optativa (ampliació de Matemàtiques) hem treballat el raonament inductiu. Mentre feiem aquest tema, hem fet una activitat molt interessant que consisteix en dibuixar un triangle auxiliar amb l'ajut d'un "applet" (online, al Moodle de la nostra escola) del programa anomenat Geogebra.

- Definició (triangle auxiliar): un triangle auxiliar és el triangle situat a l'interior d'un altre originat per la unió dels punts mitjos dels costats del triangle extern.

Per tant, es creen quatre triangles a l'interior d'aquest. Aquests triangles situats a l’interior s’anomenen triangles auxiliars.

Les instruccions de com construir un triangles auxiliars amb el Geogebra les teniu aquí (en català):

A continuació, us convidem a entrar a l' "applet" del Geogebra perquè pugueu jugar i experimentar amb els triangles auxiliars, els seus perímetres i les seves àrees:

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Ara us animem a que responeu la següent pregunta amb l'ajut de l' "applet" anterior:

Pregunta: Quina relació hi ha entre el perímetre i l’àrea d’un triangle i el seu auxiliar?

Tant si us us en heu sortit com si no, aquí teniu l' "applet" amb les respostes i comproveu que les vostres siguin correctes:

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com 

Us adjuntem el link de la pàgina web oficial de descàrrega del programa Geogebra, per si hi esteu interessats en aquest programa:

http://www.geogebra.org/

Bé, això és tot i fins la propera!

Adrià Tercero 

Gerard Martínez

3r d'ESO

M.O. Ampliació de Matemàtiques