EL CAMÍ MÉS CURT

Hola a tothom! En aquesta entrada del blog us parlarem sobre l'exercici del camí més curt... I us estareu preguntant què és, no? Doncs és un exercici que consisteix en trobar el camí més curt que uneix els 3 costats d'un triangle (tornant al punt de partida). Us animem a tots vosaltres a provar-ho ( ja us advertin que no és tasca fàcil!)

Si ja ho heu intentat fer, aquí teniu la solució!

Solució: El camí més curt s'obté agafant com a vèrtexs l'alçada de cada costat  i després unint-los. Ens donarà un triangle que s'anomena 'triangle òrtic'.
Aquí podeu comprovar que el que us acabem de dir és veritat. El triangle en taronja (petit) és l'òrtic i el camí més curt que és pot fer, i l'altre el podeu anar movent i alhora mirant la variant 'k' (part inferior esquerra) i veureu com quan concideixi amb l'òrtic, serà el més petit! Us animem a comprovar-ho!

 

 

Però s'ha d'anar amb compte, ja que el procediment del triangle òrtic només és pot aplicar cuan és acutangle!

MAX CUNILL I FRANC RICART

SERIES

Quan estàvem fent el raonament inductiu vam fer varius exercicis. Un d’ells era completar series posant que n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 i n = 5.

Primerament vam fer la sèrie:

Sn = 1+3+5+ ... +(2n-1) = n²

Vam fer les premisses següents:

n = 1; S1 = 1 = 1	12 = 1
n = 2; S2 = 1 + 3 = 4	22 =  4
n = 3; S3 = 1 + 3 + 5 = 9	32 = 9
n = 4; S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16	42  = 16
n = 5; S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25	52 = 25

Estimats lectors ara os donem el rapte de que feu el mateix que vam fer nosaltres però amb la sèrie: 

EL RAONAMENT INDUCTIU

Sabeu què és el raonament inductiu? Jo diria que no... Nosaltres no ho sabíem fins que ho vam aprendre a classe de matèria optativa!
Una definició formal podria ser la següent:
El raonament inductiu es refereix al moviment del pensament que va dels fets particulars a una afirmació general.
Tot i que, jo amb aquestes paraules no sé si ho entendria massa bé... Dit d’una altra manera, el raonament inductiu és una forma de pensar en la qual es relacionen fets puntuals amb una solució general.
Abans de pensar en matemàtiques, un exemple molt senzill podria ser:

Premisa 1: El Joan toca una flama i es crema.
Premisa 2: El Manel toca una estufa i es crema.
Premisa 3: La Maria toca aigua bullint i es crema.
CONCLUSIÓ: Quan toques un objecte calent et cremes.



VOLEU VEURE TOT AIXÒ APLICAT A LES MATEMÀTIQUES?

Aquí alguns exemples senzills...

EXEMPLE 1: La suma de dos nombres parells és...PARELL

Casos: 2+4=6
12+8=20

Comprovació: 2x+2y = 2·(x+y)

EXEMPLE 2: Si n és un número natural qualsevol aleshores:
(2n-1)·(2n+1)·(2n+3) és múltiple de...3 I 5

Casos: n=6 → 11·13·15 = 2145 (3,5,143)
n=1 → 1·3·5 = 15 (3,5)

EXEMPLE 3: Si n és múltiple de 3 aleshores n2-n és múltiple de...6

Casos: n=6 → 30 (2,3,5,6)
n=9 → 72 (2,3,6)
n=27 →702 (2,3,6)

Ara fes-ho tu mateix, tot el que acabes d'apendre posa-ho a la pràctica!
Una vegada fagis els casos més senzills buscan de més complicats!

Mercè i Gina.

SÈRIES DE NOMBRES

Fa poc, a la matèria optativa de matemàtiques vam aprendre a solucionar unes sèries ben peculiars. Tractaven de poder trobar la continuació i el que havíem de fer era ben senzill:

1. Primer de tot, calculem la diferència entre els dos primers nombres, seguidament, la tornem a calcular però aquest cop entre els segon i el tercer nombre i així successivament fins arribar al final de la sèrie. Posarem un exemple perquè s’entengui millor: si tenim la sèrie de 2-6-22-56-114, el que haurem de fer serà restar 6-2, i a continuació restarem 22-6, 56-22 i finalment 144-56. Si hem fet els càlculs bé, ens donarà una altre fila de nombres que és la següent: 4-16-34-58-88

2. El següent pas és tornar a fer exactament el mateix, però aquest cop, amb la nova sèrie de nombres. Això ho anirem fent fins que arribem a tenir una fila amb tots el nombres iguals. Si continuem amb la sèrie d’abans, hauríem d’arribar a tenir la següent fila: 6-6-6                                                                    

Però això no s’acaba aquí! Per poder trobar el nombre que segueix la sèrie, encara haurem de fer un altre pas.

3. El que hem de fer a continuació, consisteix en invertir el procés, és a dir, agafarem un dels nombres idèntics, el que es troba més a la dreta i el resultat el sumarem amb el nombre de la fila anterior que també es trobi més a la dreta. Repetirem aquest pas successivament fins que arribem a obtenir el nombre que continua la sèrie original.

A continuació us hem adjuntat un exemple amb una sèrie completa, perquè ho entengueu millor!

 Hem pensat que potser us agradaria fer-ne una vosaltres sols. La sèrie seria:

5-15-37-71-141

Us hi atreviu??

Vinyet Sorribas i Laura Oliu

TRIANGLES AUXILIARS

TRIANGLES AUXILIARS

 

En aquesta matèria optativa (ampliació de Matemàtiques) hem treballat el raonament inductiu. Mentre feiem aquest tema, hem fet una activitat molt interessant que consisteix en dibuixar un triangle auxiliar amb l'ajut d'un "applet" (online, al Moodle de la nostra escola) del programa anomenat Geogebra.

- Definició (triangle auxiliar): un triangle auxiliar és el triangle situat a l'interior d'un altre originat per la unió dels punts mitjos dels costats del triangle extern.

Per tant, es creen quatre triangles a l'interior d'aquest. Aquests triangles situats a l’interior s’anomenen triangles auxiliars.

Les instruccions de com construir un triangles auxiliars amb el Geogebra les teniu aquí (en català):

A continuació, us convidem a entrar a l' "applet" del Geogebra perquè pugueu jugar i experimentar amb els triangles auxiliars, els seus perímetres i les seves àrees:

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Ara us animem a que responeu la següent pregunta amb l'ajut de l' "applet" anterior:

Pregunta: Quina relació hi ha entre el perímetre i l’àrea d’un triangle i el seu auxiliar?

Tant si us us en heu sortit com si no, aquí teniu l' "applet" amb les respostes i comproveu que les vostres siguin correctes:

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com 

Us adjuntem el link de la pàgina web oficial de descàrrega del programa Geogebra, per si hi esteu interessats en aquest programa:

http://www.geogebra.org/

Bé, això és tot i fins la propera!

Adrià Tercero 

Gerard Martínez

3r d'ESO

M.O. Ampliació de Matemàtiques

LA PARCEL·LA ELECTRIFICADA Ignacio Llansó i Pol Jorquera

Hola a tots de nou! El tema d’aquesta entrada, com ja heu pogut observar, serà sobre un exercici del GeoGebra anomenat “La parcel·la electrificada”. Aquest exercici consisteix en trobar el punt de la parcel·la (que té forma de triangle equilàter) on utilitzarem la mínima quantitat de cable per connectar tots els costats a un generador elèctric. Òbviament, el generador elèctric (punt) ha d’estar dins del polígon.

Llegint això us han vingut ganes de provar de fer-ho?





Ho heu aconseguit?




Resolució: Després de provar diferents variants, hem aconseguit veure que el punt on es trobava el generador no importava sempre necessitavem el mateix cable


Esperem que us hagueu divertit provant aquest joc!

Fins la propera!

Ignacio Llansó i Pol Jorquera


Arxiu: https://mega.co.nz/#!pcUX0JhC
Contraseña:  b3VkW80GoKeQia8rT5Zhg_GL3Wrzi6UREzi8zUFulMg
 Descarregar geogebrahttp: //www.geogebra.org/download

Quadrilàters auxiliars

En una classe de matèria oblativa vam aprendre a fer un rectangle amb el seu auxiliar.

Es fa de la següent manera:

• Es dibuixa un rectangle, i marquem el punt mig de cada costat.
• Unim els punts mitjos, i obtenim el seu auxiliar.
• Es calcula l'àrea del rectangle inicial, i després la del seu auxiliar.

A continuació, us posem unes preguntes sobre aquests rectangles, aviam si les podeu respondre sense mirar les respostes.

Podríeu dir quin tipus de polígon són tots els quadrilàters auxiliars?

Quina relació hi ha entre la àrea d’un quadrilàter i el del seu auxiliar?                                                   Com ha de ser el quadrilàter per a que el seu auxiliar sigui un rombe? I per a que sigui un rectangle?

Respostes:

Surten quadrats o rectangles. I també pot sortir un rombe o un romboide. Fixa't que tots els auxiliars tenen costats paral·lels dos a dos, és a dir, són paral·lelograms.

b) Si ho heu fet bé, podreu comprovar com l'àrea del polígon auxiliar és la meitat de la del polígon inicial.

c)Si el quadrilàter té les diagonals perpendiculars, l'auxiliar serà rectangle.

Si el quadrilàter és un trapezi isòsceles l'auxiliar també serà rombe.

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

IGUALTATS CURIOSES

Darrerament, a classe d'ampliació de matemàtiques, hem treballat i experimentat amb diferents igualtats curioses. Per entendre-ho millor, posem uns exemples, on es compleixen les igualtats:

Exemple 1:

Sabríeu trobar quina seria la següent igualtat? I l'expressió general?

Resposta:

Aquestes igualtats tenen totes una relació, bastant senzilla de deduir. Com podem veure els exemples, si sumes múltiples de 3, és el mateix que multiplicar 3 per el múltiple més gran que has sumat, restar-li 1 i dividir-lo entre 2. 

Per demostrar que es compleix amb tots els múltiples de 3, podem fer una expressió general algèbrica:

D'aquesta manera, podem veure que 3 elevat a qualsevol nombre, és el mateix que 3 per 3 elevat al mateix nombre menys 1 i dividit entre 2.

Exemple 2:

Resposta:

L'Albert ens ha dit que més endevant podrem demostrar aquestes igualtats utilitzant el mètode inductiu. Us mantindrem informats!

Martí Oró i Arnau Velàzquez

Altres tipus de nombres:

Durant la primera setmana del segon trimestre vam treballar tipus de nombres diferents als que normalment es treballen a classe. 
Aquí teniu alguns exemples:
El nombre 73 és un nombre odiós ja que el escrit en base binària el nombre d'1 és senar. Comprovació: 73 en sistema binari és 1001001, i com que té tres uns, és un nombre odiós.
El número 225 és poderós ja que tot nombre natural n que compleix que si un primer p és un divisor seu llavors p al quadrat també ho és.Comprovació: Els únics primers que són divisors seus són 3 i 5, i es compleix que 9 i 25 també són divisors de 225.
El nombre 1260 es un nombre vampir ja que, es un nombre natural que té una possible factorització formada per dígits del propi nombre. 
El nombre 496 és un nombre perfecte ja que es igual a la suma dels seus divisors positius (1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248) excepte ell mateix.
Comprovació: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
El nombre 378 és un nombre d'Smith ja que la suma dels seus dígits és igual a la suma dels dígits de la seva descomposició factorial.
Comprovació: -La suma dels seus dígits: 3+7+8=18
-La suma dels dígits de la seva descomposició factorial: 2+3+3+3+7=18

Núria Aragonès i Clara Dueñas

LA QUADRATURA DEL CERCLE

No fa gaire, a la matèria optativa d'ampliació de matemàtiques, vam veure alguns exemples de teoremes que van estar molts anys sense resoldre entre els quals hi havia la quadratura del cercle. Avui us parlarem d'aquest teorema que l'any 1882 es va demostrar que era irresoluble.

LA QUADRATURA DEL CERCLE

La quadratura del cercle és un problema geomètric proposat per matemàtics de la Grècia clàssica. Es basa en la construcció amb regle i compàs d'un quadrat amb la mateixa àrea que un cercle fent servir un nombre finit de passos.

L'any 1882, Ferdinand von Lindemann va demostrar que era impossible. 

Qui va ser Ferdinand von Lindemann?

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, 1852 - Munic, 1939) va ser un matemàtic hannoverià, conegut per la demostració que el nombre π és un nombre transcendent, és a dir, que no és zero de cap polinomi amb coeficients racionals.

Com ho va demostrar? 

Doncs com que per trobar la solució s'ha de trobar el nombre , i  π és un nombre transcendent ( no és arrel de cap polinomi (no nul) amb coeficients enters ) s'arriba a la conclusió que π no és un nombre algebraic, osigui que es pot construir amb regle i compàs; fet que determina la seva impossibilitat. 

• És possible construir un quadrat amb una àrea arbitràriament propera a la d'un cercle donat. Si es fa servir un nombre racional com una aproximació de π, llavors és possible obtenir la quadratura del cercle com a funció dels valors escollits. Tanmateix, això només és una aproximació i no compleix les limitacions de les antigues normes per a resoldre el problema

Vinyet Sorribas i Laura Oliu

TEOREMA DE FERMAT I GRIGORI PERELMAN

TEOREMA DE FERMAT I GRIGORI PERELMAN

Durant la segona setmana de la matèria optativa d'ampliació de Matemàtiques, hem treballat la demostració recent de teoremes (Teorema de Fermat) i dels que van estar molts anys sense resoldre (Teorema dels Quatre Colors i la Quadratura del cercle). En el nostre cas ens centrarem amb el Teorema de Fermat que va estar resolt pel matemàtic Andrew Wiles l'any 1994.

També hem llegit i treballat la biografia del matemàtic Grigori Perelman.

 

 

- Teorema de Fermat:

"L'equació xⁿ + yⁿ = zⁿ per n > 2 no té solució entera a part de a = 0 / b = 0 / c = 0"

Exemples:

            1) (si n = 0) x⁰ + y⁰ = z⁰

            2) (si n = 1) x¹ + y¹ = z¹

            3) (si n = 2) x² + y² = z²

            4) (si n = 3) x³ + y³ ≠ z³

            5) (si n = 4) x⁴ + y⁴ ≠ z⁴

            6) (si n = 5) x⁵ + y⁵ ≠ z⁵

                                       ^{. . .}

 

Pierre de Fermat (1601 - 1665):

Va néixer a Beaumont (França) i va morir a Castres (França). Matemàtic francès. De jove, va estudiar dret.

Interessat per les matemàtiques, al 1629 va abordar la tasca de reconstruir algunes de les demostracions perdudes del matemàtic grec Apolonio, relatives als llocs geomètrics.

 

Al 1637 va conjecturar el Teorema de Fermat (el va posar en el marge d'una pàgina), que es va trigar més de tres segles a demostrar-lo.

 

Va dissenyar també un algoritme de diferenciació mitjançant el qual va poder determinar els valors màxims i mínims d'una corba polinòmica.

Va demostrar que el camí d'un raig lluminós entre dos punts és sempre aquell que menys temps li costa recórrer.

Al 1654 va desenvolupar amb Blaise Pascal els principis de la teoria de la probabilitat. Del seu treball en aquest camp es van derivar importants resultats relacionats amb les propietats dels

nombres primers, moltes de les quals van quedar expressades en forma de simples proposicions i teoremes.

Va desenvolupar també un enginyós mètode de demostració que va anomenar "del descens infinit".

 

- Grigori Perelman:

Nascut l'any 1966, Grigori Perelman, un dels millors matemàtics de la història, des que era un minyó ha tingut talent per les matemàtiques. Aparentment no sembla un geni degut al seu aspecte, té el cabell despentinat, les ungles llargues, la barba peluda... Va néixer a Rússia, concretament a San Petersburg.

Des de sempre, Perelman ha obtingut resultats brillants i superiors que els del seu entorn. Posteriorment d'haver donat classes, li van oferir prestigiosos llocs de treball a les universitats d'Stanford i Princeton. Degut a que demanen el seu currículum, rebutja els

treballs perquè creu que les seves conferències són suficients per demostrar el seu potencial.

Decideix tornar al seu país amb la seva mare i un temps després resol la conjectura de Poincaré. Alguns companys li intenten treure el mèrit, però no ho aconsegueixen. Perelman va rebutjar el premi d'un milió de dòlars que li oferien per haver resolt aquest gran enigma.

Conjectura de Poincaré:

 

Encara que no l'haguem treballat a classe, la conjectura diu el següent: "Considerant una varietat topològica compacta V de tres dimensions sense vora, és possible que el grup fonamental de V sigui trivial, encara que V no sigui homeomorfa a una esfera de dimensió 3".

 

 

 

 

 

 

 

Adrià Tercero

Gerard Martínez

3r d'ESO

M.O. Ampliació de Matemàtiques