ESTUDI DE CASOS

Monty Hall
Fent el treball de resolució de problemes a la classe d'optativa de matemàtiques, ens han plantejat el problema següent:

Aleshores, per trobar la solució hem realitzat aquesta taula:

Un cop feta i estudiada la taula, observem que:

• En el cas 1 hem escollit la porta correcta, i si canviem de porta, FALLEM.
• En canvi, en el cas 2 hem escollit la porta equivocada, per tant, si canviem de porta GUANYEM.
• Finalment, en el cas 3 passa gairebé el mateix que en el cas 2. Si canviem de porta, GUANYEM.

CONCLUSIONS

Si canviem de porta, tenim 2/3 possibilitats d'encertar, en canvi, si no canviem, només tenim 1/3 possibilitats.

Amb tot això, deduïm que si canviem de porta un cop feta la nostra elecció, sempre tindrem més possibilitats de guanyar que no pas si no la canviem, així que... millor canviem de porta!

Vinyet Sorribas i Laura Oliu

Enhorabona!

El passat divendres vam tenir un control escrit sobre el raonament inductiu i les tècniques de demostracions que haviem estudiat a classe.

Els resultats han sigut tot un èxit i tal i com us he dit aquest matí haig de felicitar-vos per l'esforç i sobretot per l'entusiasme que poseu a les classes. Enhorabona nois i noies!

A continuació poso alguns exercicis escanejats dels vostres controls. A veure si reconeixeu de qui és la lletra!

Documental: L'últim Teorema de Fermat

Vam veure a classe aquest magnífic documental produït per la BBC de Londres en la sèrie Horizont, en la que detalla com Andrew Wiles aconsegueix, després de molt de temps, i gràcies al treball de molt altres matemàtics, demostrar l'últim Teorema de Fermat.

Que el disfruteu!


El Ultimo Teorema de Fermat from Moisés Toledo on Vimeo.

EXERCICIS RELACIONATS 5 I 6

Em estat fent exercicis pero aquests han sigut una cosa nova, estan relacionats, ja que em pogut fer el segon gracies al primer.



En el primer ens demanavem que demostresim que o be "a" o be "3a-1" és parell per a qualsevol nombre enter "a".

Si posaven que "a" és perell ja seria correcte així que ho hem probat per "a" senar.

3·(2a+1)–1 = 6a+3–1 = 6a+2 = 2·(3a+1)

Qualsevol nombre senar multiplicat per 3 dona senar, i un nombre senar meny 1 és parell.



En el segon ens han demanat que demostresim que si "n" és multiple de 3 aleshores n²-n es multiple de 6, utilitzan el resultat de l'activitat anterior.

n = 3·a

(a·3)²-a·3 = a²·9-a·3 = 3a·(3a-1) = 3·(2b)·(3b-1) = 6b·(3c-1) = 6d

En el pas en negreta soposem que o be "a" o be "3a-1" és parell i l'altre senar, així que substituim en er un nombre parell (2b) i l'altre per u nombre senar (3b-1).

EL MÈTODE DIRECTE

Molt bon dia a tothom! Avui, en aquesta nova entrada del blog, us parlarem sobre un mètode de demostració: el mètode directe.

I us estareu preguntant què és, no? Doncs comencem per aquí!

El mètode directe és un una manera de resoldre un enunciat, d'on es parteix de les premises per a arribar a la conclusió.

A aleshores B ( A és la premisa i B la conclusió)

Abans de començar amb els exemples, creiem convenient explicar-vos aunes definicions matemàtiques:

       1-x és un parell si el podem expressar com a x=2a (on a és enter)
       2- x és un senar si el podem expressar com a x=2a+1 ( on a és enter)

Ara si doncs, aquí podeu veure alguns exemples:

Ex 1: Si tenim dos nombres parells aleshores la seva suma és parell=si x i y són parells, x+y és parell

x parell:x=2a on a pertany als enters

y parell: y=2b on b pertany als enters

Aleshores, ara que ja tenim les premises, operem:

x+y=2a+2b= 2(a+b)= 2c on c=a+b

Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c. (2c)
                           

Ex 2: La suma de dos nombres senars és parell= si x i y són senars, x+y és parell

Si x és senar: x=2a+1 on a pertany als enters

Si y és senar: y= 2b+1 on b pertany als enters

Aleshores, ara que ja tenim les premises, podem procedir:

x+y= 2a+1+2b+1= 2a+2b+2= 2(a+b+1) = 2c on c=a+b+1

Com abans hem dit que un nombre parell era 2 per quelcom, aquí tenim que és compleix , ja que és 2 per c (2c)
                                                     

Què ho trobeu difícil? No pot ser! Aquests són els més fàcils! I ara, pels més atrevits i atrevides, us deixem un enunciat a veure si sou capaços de resordre'l pel mètode directe. Endevant matemàtics!

Exercici: Si n és senar aleshores n^3-n és múltiple de 4 

Endevant nois, a veure si sou capaços!


Max Cunill i Franc Ricart

DEMOSTRACIÓ MATEMÀTICA

Bon dia a tots! Avui us venim a orientar una mica sobre els mètodes de demostració, ja que els nostres companys han aprofundit molt. Aquesta entrada és una "presentació" pels temes que vindran.

En matemàtiques, una demostració matemàtica o prova és un argument deductiu per a una afirmació matemàtica . En l'argumentació es poden utilitzar altres afirmacions prèviament establertes, com ara teoremes . En principi, una demostració es pot rastrejar fins afirmacions generalment acceptades, conegudes com axiomes .

Això si, no es pot utilitzar el mot comprovació com a sinònim de demostració ja que comprovar es afirmar que és cert per a “x” número, es a dir, solament 1. En canvi demostrar es afirmar-ho per a tots els números.

Aquí us deixem una frase extreta del documental “L’últim teorema de Fermat”, on es veu clarament  que comprovació no es demostració.

 “Pots comprovar aquesta conjectura per a 1000 nombres i et quedaran infinits, pots comprovar-ho per un milió més i et quedaran infinits per comprovar. 

Encara que en general no hi ha un procediment únic de demostració de tesi, si hi ha diferents tipus de demostracions que són utilitzats comunament en matemàtiques :

- La primera de totes és la demostració per contraposició ( formalitzat i utilitzat en els sil·logismes* per Aristòtil ).

- Una altra és la demostració per reducció a l'absurd ( formalitzat i utilitzat per Aristòtil ) i , com a cas particular, descens infinit.

- Un altre cas és la inducció matemàtica.

- I per últim, trobem la inducció forta.

 *Un sil·logisme és un mètode lògic creat per Aristòtil, a través del qual s'obté una conclusió.

Aquestes, són maneres de resoldre conjectures o problemes, els quals aquí us deixem uns exemples:

El conegut Teorema de Fermat, el també famós Teorema de Pitàgores i fins i tot problemes com “Demostrar que si 3n+2 es senar, llavors  n es senar”

Si no us sonen aquests noms, no us preocupeu, que els nostres companys tenen entrades explicant cada demostració més a fons.

Esperem que us haguem pogut començar a endinsar dins d'aquest món i que us hagi agradat!

Ignacio Llansó i Pol Jorquera

REDUCCIÓ A L'ABSURD

REDUCCIÓ A L’ABSURD

Sabríeu resoldre per aquest mètode els enunciats següents?

1. Demostra que si m² és parell, aleshores m també és parell.

2. Siguin dos nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos nombres són senars.

3. Si p, q i r són tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte:

(p-q) · (q-r) · (r-p)  és parell.

Si voleu comprovar els vostres resultats o bé aprendre com es fa, aquí teniu els passos a seguir i les solucions!

1. Demostra que si m² és parell, aleshores m també és parell.

m² = parell ; m = parell

a) Suposem que la conclusió és falsa: que m és senar (m = 2a+1)

b) Ho apliquem a l’enunciat:

m² = (2a+1)²

m² = 4a² +4a+1

m² = 2· (2a² +2a) +1

m²  és parell                              ( CONTRADICCIÓ )

2· (2a² +2a) +1 és senar

 2. Siguin dos nombres naturals que compleixin que el seu producte és senar, aleshores els dos nombres són senars.

 Comencem suposant que els producte és senar però que els dos nombres són parells o un és parell.

Dos parells:

2a · 2b = 4ab = 2(2ab) = parell (CONTRADICCIÓ)

Un parell:

2a · (2b+1) = 4ab+2a = 2a (2b+1) =parell (CONTRADICCIÓ)

3. Si p, q i r són tres nombres enters qualsevols, demostra que el producte: (p-q) (p-r) (r-p) és parell.

Comencem suposant que p, q i r són enters i que tenim el producte (p-q) (p-r) (r-p) i això acaba donant senar.

En concret (p-q) és senar, per tant un ha de ser parell i l'altre senar.

Tenim dos casos:

- p parell i q senar: p parell = (r-p) senar = r senar       (CONTRADICCIÓ)

                               q senar =  (q-r) senar = r parell 

- p senar i q parell: p senar = (r-p) senar = r parell      (CONTRADICCIÓ)

                               q parell = (q-r) senar = r senar 

Esperem que apreneu i que si els heu fet vostres sols us hagin donat bé! Segueix-nos!

Mercè Maria 

Gina Gassol

Mètode d'inducció

Últimament, a la matèria optativa hem estat treballant el mètode d'inducció.

La inducció és un mètode de demostració matemàtica que es basa en:

Suposar certa una expressió i comprovar-la per casos particulars (n=1, n=2, etc.). Un cop fet això, la demostrem per a "n+1". D'aquesta manera demostrarem que la expressió és certa per a tots els següents nombres a partir de "n". 

Exemple: 

Casos particulars: 

A partir d'aquí suposem certa l'expressió per a "n":

I la demostrem per a "n+1":

Conclusió: podem veure que la igualtat és compleix per a "n+1". Això vol dir, que hem demostrat la igualtat inicial el mètode d'inducció.

Problema: si voleu, a partir de la informació donada, podem intentar resoldre la següent expressió:

Resposta:

demostracions per mètode directe

Sabeu d'on ve l'equació de segon grau? I sabríeu demostrar que la mitja aritmètica de dos nombres(positius) sempre és més gran o igual que la seva mitja aritmètica?

A classe d'optativa, ho hem treballat i ara us ho demostrarem:

• Equació de segon grau:

 Primer de tot, les lletres a, b i c, són qualsevol nombre enter, mentre que la x és l'incògnita.
Al primer pas, multipliquem per 4ac a banda i banda. A continuació, passem el tercer terme, 4ac, restant a l'atra banda.
Tot seguit sumem b al quadrat a cada costat i al costat esquerre, ens queda un producte notable. Després l'operem, i per treure el quadrat fem l'arrel quadrada a la dretra. Finalment aïllem la x i ens queda l'equació final.

• La mitja aritmètica de dos nº positius és més gran o igual a la seva mitja geomètrica.

La mitja aritmètica és la tenim al costat esquerre de l'equació, i la

mitja geomètrica a la dreta.

El primer que fem és passar el dos multiplicant i elevar-ho tot al quadrat per eliminar l'arrel de la dreta. Després operem el producte notable de la dreta. Finalment ho passem tot a la dreta  i operem. Podem comprovar com la mitja aritmètica és més gran.